數(shù)學(xué)三大危機相關(guān)內(nèi)容整理
數(shù)學(xué)發(fā)展史中的三次“危機” 數(shù)學(xué)常常被人們認為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門學(xué)科, 但在數(shù)學(xué)的發(fā) 展史中,卻經(jīng)歷了三次危機。下面給大家?guī)硪恍╆P(guān)于數(shù)學(xué)三大危機相關(guān)內(nèi)容整理，希望對大家有所幫助。
一.數(shù)學(xué)三大危機
數(shù)學(xué)三大危機，涉及無理數(shù)、微積分和集合等數(shù)學(xué)概念。
危機一，希巴斯(Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右)發(fā)現(xiàn)了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊(即2的2次方根)永遠無法用最簡整數(shù)比(不可公度比)來表示，從而發(fā)現(xiàn)了第一個無理數(shù)，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當(dāng)時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發(fā)現(xiàn)而把希巴斯拋入大海。
危機二，微積分的合理性遭到嚴重質(zhì)疑，險些要把整個微積分理論推翻。
危機三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎?用通俗一點的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊!”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論。
二.第一次危機
畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。畢達哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)僅指整數(shù)。而“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。
畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希巴斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希巴斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)的誕生。小小的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊，對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的?？墒菫槲覀兊?a href='http://m.regraff.com/fwn/jingyan/' target='_blank'>經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的的存在而推翻了。這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事。它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。
三.第二次危機
出現(xiàn)第二次數(shù)學(xué)危機導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
解決經(jīng)過柯西(微積分收官人)用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發(fā)展和完善，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗。
四.第三次危機
出現(xiàn)
十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。“一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……”
可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的!這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的元素所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢?根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S;反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
其實，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地?！贝鞯陆鹨惨虼送七t了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版?？梢哉f，這一悖論就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。
解決
排除悖論
危機產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。
公理化集合系統(tǒng)
成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。
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