高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)試題
高考考查的不僅僅是一些基礎(chǔ)知識(shí)，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要掌握一定的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，下面是小編為大家整理的關(guān)于高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)試題，希望對(duì)您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學(xué)習(xí)!
高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)試題
一、選擇題
1.若點(diǎn)P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則( )
A.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行
B.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直
C.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交
D.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面
答案：B 命題立意：本題考查異面直線的幾何性質(zhì)，難度較小.
解題思路：因?yàn)辄c(diǎn)P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選B.
2.如圖，P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是( )
A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直
B.它們兩兩垂直
C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直
D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直
答案：A 解題思路： DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，
DA⊥平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長(zhǎng)方體中，并把平面PBC補(bǔ)全為平面PBCD1，把平面PAD補(bǔ)全為平面PADD1，易知CD1D即為兩個(gè)平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，
CD1D<90°，故平面PAD與平面PBC不垂直.
3.設(shè)α，β分別為兩個(gè)不同的平面，直線lα，則“l(fā)β”是“αβ”成立的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：A 命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力.
解題思路：依題意，由lβ，lα可以推出αβ;反過(guò)來(lái)，由αβ，lα不能推出lβ.因此“l(fā)β”是“αβ”成立的充分不必要條件，故選A.
4.若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線
B.若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線
C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，則nβ
D.m，n在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直
答案：B 解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系.在A中：因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬芍本€可以平行，相交，異面，故A為假命題;在B中：因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行，故B為真命題;在C中：n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，也可以與β相交，故C為假命題;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D為假命題.故選B.
5.如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為( )
A.4π B.2π
C.π D.-π
答案：D 解題思路：本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.如圖可知，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接ND，由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)P為NM的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離始終等于1.故點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的球面，其面積為.
技巧點(diǎn)撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問(wèn)題，要善于把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識(shí)去求解，實(shí)現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過(guò)渡.
6.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：
直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.1 B.1
C. 3D.4
答案：B 解題思路：本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.畫(huà)出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是異面直線，不正確，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA與PD的中點(diǎn)，可知EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線，滿足異面直線的定義，正確;直線EF平面PBC，由E，F(xiàn)是PA與PD的中點(diǎn)，可知EFAD，所以EFBC，因?yàn)镋F平面PBC，BC平面PBC，所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD，故不正確.故選B.
技巧點(diǎn)撥：翻折問(wèn)題常見(jiàn)的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來(lái)，然后考查立體幾何的常見(jiàn)問(wèn)題：垂直、角度、距離、應(yīng)用等問(wèn)題.此類問(wèn)題考查學(xué)生從二維到三維的升維能力，考查學(xué)生空間想象能力.解決該問(wèn)題時(shí)，不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念，還要注意到在翻折的過(guò)程中哪些量是不變的，哪些量是變化的.
二、填空題
7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小為_(kāi)_______.
答案：45° 解題思路：因?yàn)锽CAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.
因?yàn)槠矫鍭BCD平面CEFB，且ECCB，
所以EC平面ABCD.
在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.
在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.
又因?yàn)镋AD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.
故異面直線BC與AE所成的角為45°.
8.給出命題：
異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;
兩異面直線a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;
兩異面直線a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;
兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線.
上述命題中，真命題的序號(hào)是________.
答案： 解題思路：本題考查了空間幾何體中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.根據(jù)異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個(gè)平面，故命題為假命題;若bα，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點(diǎn)一直線，故命題為假命題.
9.如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個(gè)正六棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的最大值為_(kāi)_______.
答案：16 命題立意：本題以球的內(nèi)接組合體問(wèn)題引出，綜合考查了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)最值的方法，同時(shí)也有效地考查了考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力.
解題思路：設(shè)球心到底面的距離為x，則底面邊長(zhǎng)為，高為x+3，正六棱錐的體積V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，則V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.
10.已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，則三棱錐與球的體積之比為_(kāi)_______.
答案： 命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計(jì)算方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運(yùn)算能力.
解題思路：依題意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的體積V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.
三、解答題
11.如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形，點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn)，A′A平面ABCD.
(1)求證：A′C平面BDE;
(2)求證：平面A′AC平面BDE.
解題探究：第一問(wèn)通過(guò)三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行;第二問(wèn)由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直，從而得到平面與平面垂直.
解析：(1)設(shè)AC交BD于M，連接ME.
四邊形ABCD是正方形，
M為AC的中點(diǎn).
又 E為A′A的中點(diǎn)，
ME為A′AC的中位線，
ME∥A′C.
又 ME?平面BDE，
A′C?平面BDE，
A′C∥平面BDE.
(2)∵ 四邊形ABCD為正方形， BD⊥AC.
∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.
BD?平面BDE，
平面A′AC平面BDE.
12.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.
(1)求證：D1CAC1;
(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說(shuō)明理由.
命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過(guò)已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關(guān)系.并通過(guò)線段的長(zhǎng)度關(guān)系，借助題目中線段的中點(diǎn)和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造.
解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D， DC=DD1，
四邊形DCC1D1是正方形，
DC1⊥D1C.
又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，
AD⊥平面DCC1D1，
又D1C平面DCC1D1，
AD⊥D1C.
∵ AD?平面ADC1，DC1平面ADC1，
且AD∩DC1=D，
D1C⊥平面ADC1，
又AC1平面ADC1，
D1C⊥AC1.
(1)題圖
(2)題圖
(2)連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN.
平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E平面A1BD，
可使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，
則N是AE的中點(diǎn).
又易知ABN≌△EDN，
AB=DE.
即E是DC的中點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.
13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明：MN平面A′ACC′;
(2)求三棱錐C-MNB的體積.
命題立意：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí).意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
解析：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，
四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點(diǎn)，
AB′與A′B交于點(diǎn)M，且M為AB′的中點(diǎn)，又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn).
MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，
MN∥平面A′ACC′.
(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN，
BAC=90°， BC==2，
又三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，且AA′=4，
S△BCN=_2_4=4.
A′B′=A′C′=2，BAC=90°，點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，
A′N⊥B′C′，A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′，
A′N⊥BB′，
A′N⊥平面BCN.
又M為A′B的中點(diǎn)，
M到平面BCN的距離為，
VC-MNB=VM-BCN=_4_=.
14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.
(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
命題立意：本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及棱錐的體積的計(jì)算等，意在考查考生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
解析：(1)證明：在ABD中，因?yàn)锳D=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.
故ADBD.
又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，
所以BD平面PAD，
又BD平面MBD，
所以平面MBD平面PAD.
(2)過(guò)點(diǎn)P作OPAD交AD于點(diǎn)O，
因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，
所以PO平面ABCD.
因此PO為四棱錐P-ABCD的高.
又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
所以PO=_4=2.
在四邊形ABCD中，ABDC，AB=2DC，
所以四邊形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為=，此即為梯形ABCD的高.
所以四邊形ABCD的面積S=_=24.
故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=_24_2=16.
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