例談直覺(jué)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
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數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是人們?cè)诜治鼋鉀Q問(wèn)題時(shí)快速動(dòng)用自己所有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，在對(duì)對(duì)象作過(guò)總體上的觀察分析之后，直接觸及事物本質(zhì)，作出假設(shè)，然后再對(duì)假設(shè)作出檢驗(yàn)或證明的一種思維方法。它主要表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的敏銳洞察，從而直接猜斷和總體把握在我們找到解答和證明之前，直覺(jué)先已幫助我們對(duì)結(jié)論或解題思路產(chǎn)生預(yù)見(jiàn)然而，在目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，強(qiáng)化形式論證的邏輯的嚴(yán)密性，忽視了直覺(jué)思維在解題中預(yù)知導(dǎo)向和頓悟作用，也失去了數(shù)學(xué)思維形成過(guò)程中直觀生動(dòng)的一面這在一定范圍上限制了學(xué)生思維素質(zhì)的提高，與現(xiàn)代素質(zhì)教育要求背道而馳，所以在中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。
1. 聯(lián)想和猜想。聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過(guò)程。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)對(duì)象和有關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過(guò)程。它是一種由此及彼的思維活動(dòng)。聯(lián)想思維在認(rèn)識(shí)活動(dòng)過(guò)程中起著橋梁和紐帶的作用。對(duì)于一些未知的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)已知知識(shí)和未知知識(shí)之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題得以解決。在數(shù)學(xué)的具體解題過(guò)程中，通過(guò)對(duì)題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標(biāo)分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對(duì)在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的聯(lián)想思維進(jìn)行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。
愛(ài)因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺(jué)思維，同樣，數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開(kāi)直覺(jué)思維。對(duì)問(wèn)題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對(duì)象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷?？梢哉f(shuō)聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的。特別地，在一些若干問(wèn)題往往無(wú)從下手，著不到邊。這時(shí)就需由聯(lián)想來(lái)產(chǎn)生解題靈感。使本來(lái)困難、受阻的題目，迎刃而解。
例1：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1
求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1
分析：聯(lián)想a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ
則可以令 。
從而從問(wèn)題很容易得到解決。
通過(guò)以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過(guò)程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學(xué)題目,特別是著手較難的數(shù)學(xué)題目，可以通過(guò)這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步培養(yǎng)起來(lái)的。而數(shù)學(xué)是一門(mén)有著與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的學(xué)科。在日常的生活、工作以及學(xué)習(xí)中培養(yǎng)這種思維是無(wú)意識(shí)，也是潛意識(shí)。
聯(lián)想是產(chǎn)生直覺(jué)的先導(dǎo)。猜想則是直覺(jué)的結(jié)果，所謂直覺(jué)，信息加工的原理來(lái)看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價(jià)值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴(lài)于每個(gè)人的聯(lián)想空間，因此不時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)面臨的問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想。
O.K.吉霍米曾說(shuō)過(guò)：在心理中，思維被看作解題活動(dòng)雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中對(duì)聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課的同時(shí)要注重對(duì)這些思維的培養(yǎng)。
2. 經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律。數(shù)學(xué)直覺(jué)思維在解題中應(yīng)用較多都是利用長(zhǎng)期積累經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺(jué)，雖然有時(shí)拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來(lái)風(fēng)有時(shí)又不受任何模式限制, 思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見(jiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、大膽的預(yù)測(cè)，探索解題的方向。下面再舉個(gè)例子來(lái)繼續(xù)探討。
例2：過(guò)拋物線(xiàn)y=ax2（ａ＞０）的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF、FQ的長(zhǎng)度分別是p、q。則■+■=（ ）。
A. 2a B. ■ C. 4a D. ■
本題是圓錐曲線(xiàn)中最典型的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，看似很難，其實(shí)只要看下答案，四個(gè)答案都是定值。經(jīng)驗(yàn)告訴我們一個(gè)直覺(jué)：結(jié)論與直線(xiàn)的位置無(wú)關(guān)，所以只要取PQ垂直x軸這一特殊情況就可以啦。通過(guò)這個(gè)例子，說(shuō)明在解決數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)經(jīng)驗(yàn)也是可以幫上忙的。當(dāng)然，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的獲得可能需要經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐才能獲得。
1. 聯(lián)想和猜想。聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過(guò)程。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)對(duì)象和有關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過(guò)程。它是一種由此及彼的思維活動(dòng)。聯(lián)想思維在認(rèn)識(shí)活動(dòng)過(guò)程中起著橋梁和紐帶的作用。對(duì)于一些未知的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)已知知識(shí)和未知知識(shí)之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題得以解決。在數(shù)學(xué)的具體解題過(guò)程中，通過(guò)對(duì)題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標(biāo)分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對(duì)在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的聯(lián)想思維進(jìn)行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。
愛(ài)因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺(jué)思維，同樣，數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開(kāi)直覺(jué)思維。對(duì)問(wèn)題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對(duì)象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷?？梢哉f(shuō)聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的。特別地，在一些若干問(wèn)題往往無(wú)從下手，著不到邊。這時(shí)就需由聯(lián)想來(lái)產(chǎn)生解題靈感。使本來(lái)困難、受阻的題目，迎刃而解。
例1：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1
求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1
分析：聯(lián)想a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ
則可以令 。
從而從問(wèn)題很容易得到解決。
通過(guò)以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過(guò)程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學(xué)題目,特別是著手較難的數(shù)學(xué)題目，可以通過(guò)這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步培養(yǎng)起來(lái)的。而數(shù)學(xué)是一門(mén)有著與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的學(xué)科。在日常的生活、工作以及學(xué)習(xí)中培養(yǎng)這種思維是無(wú)意識(shí)，也是潛意識(shí)。
聯(lián)想是產(chǎn)生直覺(jué)的先導(dǎo)。猜想則是直覺(jué)的結(jié)果，所謂直覺(jué)，信息加工的原理來(lái)看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價(jià)值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴(lài)于每個(gè)人的聯(lián)想空間，因此不時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)面臨的問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想。
O.K.吉霍米曾說(shuō)過(guò)：在心理中，思維被看作解題活動(dòng)雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中對(duì)聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課的同時(shí)要注重對(duì)這些思維的培養(yǎng)。
2. 經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律。數(shù)學(xué)直覺(jué)思維在解題中應(yīng)用較多都是利用長(zhǎng)期積累經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺(jué)，雖然有時(shí)拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來(lái)風(fēng)有時(shí)又不受任何模式限制, 思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見(jiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、大膽的預(yù)測(cè)，探索解題的方向。下面再舉個(gè)例子來(lái)繼續(xù)探討。
例2：過(guò)拋物線(xiàn)y=ax2（ａ＞０）的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF、FQ的長(zhǎng)度分別是p、q。則■+■=（ ）。
A. 2a B. ■ C. 4a D. ■
本題是圓錐曲線(xiàn)中最典型的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，看似很難，其實(shí)只要看下答案，四個(gè)答案都是定值。經(jīng)驗(yàn)告訴我們一個(gè)直覺(jué)：結(jié)論與直線(xiàn)的位置無(wú)關(guān)，所以只要取PQ垂直x軸這一特殊情況就可以啦。通過(guò)這個(gè)例子，說(shuō)明在解決數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)經(jīng)驗(yàn)也是可以幫上忙的。當(dāng)然，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的獲得可能需要經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐才能獲得。